2355金曜日の夜ふかしワークショップについて本気だして考えてみた

業界的にいうならてっぺんになる前の番組「2355」では、金曜日に「夜ふかしワークショップ」なる『見て面白い、やるともっと納得。身の回りにひそむ不思議を、爆笑問題のふたりと考えるコーナー』があります。そこでこの前の金曜日17日に放送された夜ふかしワークショップの問題の解答が来週放送ということになり、え〜気になるじゃんかよおみたいな感じで、モンモンモヤモヤした日々を送っております。ということで、その答えを考えてみました。
問題です。1から20までの数字のうち、19個の数字を読み上げるので、読まれなかった残り1つの数字を当てよ。で、それを簡単に答えられる方法を書いた紙を田中さんが読んでチャレンジすると見事にその残り1つの数を当てることができたのです。いつもならすぐ種明かしというか、解法を教えてくれるのですが、なんと解法を明かすのは次週、つまり今度の金曜日というお知らせが。ということで1週間の猶予が与えられたので、それがどんな方法なのか考えているのですが、なかなかいい方法が思い浮かびません……。
まず1から20までの数字を足すと210なので、読み上げられる19個の数字を足して210から引いたのが残り1つの数になるという方法があります。これは普通の解法だと思います。しかしいくら20までの数字とはいえ、19個も暗算で足していくのは結構大変なので、解法って感じが今ひとつ。そういえばはてな記法TeXの数式表記が使えて数式を表示できるみたいなので、ものは試しにやってみました。nが1から20まで変化するときのnの和って、こう書くんでしたっけ?大学時代はTeXニシャン(TeXの本の帯に書いてた)だったのになあ。
\sum_{n=1}^{20}n=210
暗算が大変なので、そのへんを簡単にできないか考えてみます。19個読み上げた後の残り1つの数字はもちろん1から20までの数なので、210から引くと、答えは190から209の間になります。なので190台か200台かは置いといて、読み上げられた数字の1の位だけを考えることにします。読み上げられる数字の1の位だけ足して、10を超える分には10を省いてひたすら1の位のみ足していきます。19個読み上げた後の合計の1の位に足して10になる数が、正解の数の1の位ということになります。例えば19個の数字の1の位を足していったものが4だったら答えは6か16ということに。つまり答えは2つに絞られました。
ちなみに、ここまでの解法は昨日つぶやいてます、「意外」を「以外」と書き間違えてるけど、時間を示すために載せておこう。

答えが2択になってたんじゃ解法とは言えないですよね。ということで2択から正解を出す方法について考えてみました。1から20までの数字を1の位で分けると1から10のグループと11から20のグループにできます。そこで、1から10までの数字が読まれた数を、数が読まれた時点で指折り数えていけば、19個読み上げた時点で10個読まれていたら正解は11から20の中に、9個だったら1から10の中に正解があることになります。そして先ほどの1の位の足し算から正解を導くと。この考え方もちょこっと書いてました。一桁か二桁かで数えると書いてるので、ちょっと違いますけど、言いたかったことはこんな感じです。でもtweetしているように、この方法は面倒なんですよね……。でも今のところ、この方法が単なる足し算よりもいいんじゃないかなあと。
ということで、1から20までの数字から19個を読み上げ、残りの1つの数字を当てる方法を考えました。読み上げられる数字の1の位を暗算で足していき、10を超える分には10を除き1の位のみをひたすら足し、19個読み上げた時点の計を10から引いたものが正解の1の位。それとは別に1から10までの数が読まれた回数を指折り数えておいて、10個読まれていたら正解は11から20の中に、9個読まれたなら正解は1から10の中にあるので、正解の1の位から正解の数を1から20の中で答えることができる。……もう少し考えてみます。